INFINITO

¿Puedo tener alguna idea exacta de lo que es el infinito? Yo sólo lo comprendo confusamente. ¿Me sucede esto porque soy excesivamente finito? ¿Quién se explica lo que es andar siempre sin avanzar nunca, contar siempre sin llegar a hacer una cuenta, dividir siempre sin encontrar nunca la última parte? Paréceme que la noción del infinito está en el fondo del tonel de las Danaides.

Esto no obstante, es imposible que no exista el infinito. Está demostrado que ha transcurrido una duración infinita. Empezar a ser es absurdo, porque la nada no puede empezar algo. En cuanto vemos que un átomo existe, debemos deducir que hay algún ser que goza de la eternidad. He aquí, pues, un infinito de duración rigurosamente demostrado. Pero ¿qué es el infinito que pasó, el infinito que fijo en mi cerebro cuando quiero? Puedo decir: «He aquí una eternidad transcurrida; pasemos a la otra.» Distingo dos eternidades, una eternidad pasada y otra eternidad futura.

Cuando reflexiono lo que acabo de decir, me parece ridículo; me apercibo de que he cometido una tontería pronunciando estas palabras: «Una eternidad pasó, y entro en una nueva eternidad.» En el momento en que lo estaba diciendo, la eternidad duraba, la fluencia del tiempo corría, y no podía creerla pasada, porque la duración nunca se interrumpe. El infinito de la duración está, pues, atado con una cadena no interrumpida, y ese infinito se perpetúa hasta en el instante mismo en que yo digo que ha pasado. El tiempo empieza y concluye para mí; pero la duración es infinita.

He aquí, pues, un infinito confusamente definido, pero sin podernos formar de él una noción clara.

También suponemos un infinito de espacio; pero ¿qué entendemos por espacio? ¿Es un ser, o no es nada? Si es un ser, ¿a qué especie pertenece? Si no es nada, la nada no tiene ninguna propiedad, y decimos que es penetrable, que es inmenso. Soy tan ignorante, que no me atrevo a llamarle nada, ni sé decir lo que es; pero los hombres somos curiosos, y sabemos que existe el espacio. Nuestra inteligencia no alcanza a comprender ni la naturaleza del espacio ni su fin; le llamamos «inmenso» porque no podemos medirlo.

¿El universo es limitado? ¿Su extensión es inmensa? ¿Son innumerables los soles y los planetas? ¿Qué privilegio goza el espacio que contiene una cantidad de soles y de globos respecto a la parte de ese espacio que no los contenga? Que el espacio sea un ser o no sea nada, ¿qué dignidad alcanzó el espacio donde estamos para ser preferido a otros espacios’?’ Si el universo material no es infinito, no es mas que un punto en la extensión; si es infinito, ¿qué significa el infinito actual, al que mi pensamiento puede siempre añadir?

Así como no podemos formarnos ninguna idea positiva del infinito de duración, ni del de extensión, tampoco podemos formarnos la del infinito en poder físico, ni aun en poder moral. Concebimos fácilmente que un ser poderoso organizara la materia, hiciera circular los mundos en el espacio y diera vida a los animales, a los vegetales y a los metales. Llegamos a sacar esta conclusión porque estamos convencidos de que todos esos seres son incapaces de haberse organizado a sí mismos, y convenimos en que ese gran Ser existe eternamente por sí mismo, porque no puede haber salido de la nada; pero no podemos descubrir su infinito en extensión, en poder ni en atributos morales.

En cuanto a sus atributos morales, sólo podemos conocerlos incompletamente tomando los nuestros por modelo; nos es imposible conocerlos de otro modo; pero ¿son acaso iguales o semejantes nuestras cualidades inciertas y variables a las cualidades del Ser Supremo? La idea que tenemos de la justicia puede decirse que no es mas que el interés ajeno que nuestro interés respeta. El pan que la mujer amasa con la harina cuyo marido sembró el trigo le pertenece. Un salvaje hambriento se apodera de ese pan y se lo lleva; la mujer dice que el salvaje comete una injusticia enorme, pero éste contesta tranquilamente que obra con justicia, porque no se han de morir de hambre él y su familia. No podemos, pues, admitir que la justicia infinita de Dios sea semejante a la justicia contradictoria de esa mujer y de ese salvaje.

Tenemos noción tan confusa de los atributos del Ser Supremo, que hay unas escuelas que afirman que posee el don de la presciencia, esto es, la previsión infinita, que excluye todos los acontecimientos contingentes, y hay otras escuelas que dicen que esa previsión de Dios no excluye la contingencia. Desde que la Sorbona declaró que Dios puede hacer que un palo no tenga dos extremos, que una cosa pueda ser y no ser al mismo tiempo, no sabemos ya qué decir, por temor a cometer alguna herejía. Lo único que puede afirmarse sin temor de ninguna clase es que Dios es infinito y que la razón del hombre es muy limitada.

II – Historia del infinito

Los primeros geómetras indudablemente se apercibieron, desde la undécima o duodécima proposición, que aunque andaban sin extraviarse caminaban por los bordes de un abismo, y que las insignificantes verdades incontestables que iban encontrando las rodeaba el infinito. Lo entreveían desde que averiguaron que por un lado del cuadrado no se puede medir la diagonal, y que las circunferencias de círculos diferentes pasan siempre entre un círculo y su tangente. El que únicamente deseaba averiguar la raíz del número 6 comprendía quo era un número entre dos y tres; pero por más divisiones que hacía, aunque siempre se aproximaba a la raíz, nunca conseguía encontrarla. Si suponían una línea recta cortando otra línea recta perpendicularmente, imaginaban ver que se cortaban en un punto invisible; pero si se habían de cortar oblicuamente se veían obligados, o a suponer un punto más grande que otro, o a no comprender la naturaleza de los puntos ni el principio de toda magnitud.

La inspección de un cono les maravillaba, porque su base, que es un círculo, contiene un número infinito de líneas. Su vértice es algo que difiere infinitamente de la línea. Si cortaban dicho cono paralelamente a su eje, presentaba una figura que se aproximaba cada vez más a los lados del triángulo que formaba el cono, sin ser el triángulo realmente. El infinito se encontraba en todas partes. ¿Cómo conocer el área de un círculo ni el área de una curva cualquiera?

Antes de la época de Apolonio, el círculo sólo se estudiaba como medida de los ángulos y para poder adquirir ciertos medios proporcionales, lo que prueba que los egipcios, que enseñaron la geometría a los griegos, fueron muy medianos geómetras, aunque eran astrónomos bastante buenos. Apolonio estudió el detalle de las secciones cónicas. Arquímedes consideró el círculo como una figura de infinidad de lados y relacionó el diámetro con la circunferencia, como la inteligencia humana puede imaginarlo. Cuadró la parábola; Hipócrates de Quíos cuadró las lúnulas del círculo.

Buscaron inútilmente los antiguos la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, que son inabordables para la geometría ordinaria, y la cuadratura del círculo, que es imposible para toda clase de geometría. Encontraron algunos secretos en el camino que recorrieron, como les sucedió a los que iban buscando la piedra filosofal, como, por ejemplo, la cisoide de Diocles, la concoide de Nicomedes y la espiral de Arquímedes. Todo esto se encontró sin saber álgebra, sin ese cálculo que tanto ayuda a la inteligencia y que la dirige sin esclarecerla.

Digo sin esclarecerla, porque poniendo, por ejemplo, que dos aritméticos tengan que hacer una cuenta; que el primero la haga de memoria teniendo presentes todos los números, y el otro la haga sobre el papel siguiendo una regla de rutina, pero segura, que sólo le hace conocer la verdad que busca cuando llega al resultado, ésta es poco más o menos la corta diferencia que media entre el geómetra sin cálculo que examina las figuras y ve sus relaciones, y el algebrista que busca sus relaciones practicando operaciones que no hablan a su inteligencia.

Harriot, Viete, y sobre todo el famoso Descartes, emplearon los signos y las letras. Descartes sometió las curvas al álgebra, reduciéndolo todo a ecuaciones algebraicas.

En la época de Descartes, Caballero publicó en 1635 la Geometría de los invisibles, geometría nueva en la que los planos se componen de infinidad de líneas y los sólidos de Infinidad de planos, pero no se atrevió a pronunciar la palabra «infinito» en matemáticas, como Descartes no se atrevió a pronunciarla en física. Uno y otro usaban para designarlo la palabra «indefinido». Al mismo tiempo que en Francia tenía las mismas ideas Roberval, un jesuita de Brujas caminaba a pasos de gigante en esa misma dirección, por diferente camino. Ese jesuita es Gregorio de San Vicente, que tomando por punto de partida un error, y creyendo encontrar la cuadratura del círculo, encontró realmente cosas admirables. Redujo el infinito a relaciones finitas, y conoció el infinito en pequeño y en grande; pero sus descubrimientos se ahogaron en tres tomos en folio, que carecen de método, y el error palpable con que terminó su obra perjudicó a las verdades que encierra.

Seguíase buscando siempre cuadrar las curvas. Descartes se valió de las tangentes. Fermat, consejero de Tolosa empleó su regla de maximis et minimis, y Wallis en 1655 publicó atrevidamente la Aritmética de los infinitos y de las series infinitas en número. Lord Brounker se sirvió de esta obra para cuadrar una hipérbole. Mercator de Holstein tuvo gran parte en esta invención, pero se trataba de hacer con todas las curvas lo que Brounker intentó con éxito. Trataban entonces de encontrar un método general que sujetara el infinito al álgebra, como Descartes sujetó a ésta lo finito, y ese método lo encontró Newton a la edad de veintitrés años.

El método de Newton tiene dos partes, que se llaman cálculo diferencial y cálculo integral. El diferencial consiste en encontrar una cantidad más pequeña que ninguna asignable, la que, tomada una infinidad de veces, sea igual a la cantidad dada. El cálculo integral consiste en tomar la suma total de las cantidades diferenciales.

El célebre filósofo Leibniz y el profundo matemático Bernoulle han reivindicado cada uno de ellos el cálculo diferencial, pero es necesario ser capaces de inventar cosas tan sublimes para tener la audacia de atribuirse tal honor. Tres grandes matemáticos que buscan la verdad, ¿no es posible que la hayan encontrado? Torricelli, La Loubère, Descartes, Roberval, Pascal, ¿no han demostrado cada uno a su manera las propiedades de la cicloide? ¿No hemos visto muchas veces varios oradores tratando del mismo asunto utilizar los mismos pensamientos, pero exponerlos de diferente modo? Pues los signos que usaron Newton y Leibniz eran diferentes, pero sus pensamientos eran los mismos.

Desde entonces el infinito empezó a tratarse por medio del cálculo, y se acostumbraron insensiblemente a admitir unos infinitos mayores que otros. Este edificio tan atrevido asustó a uno de los arquitectos que lo construyeron: Leibniz llamó entonces incomparables a esos infinitos, y M. de Fontenelle, en su obra titulada Geometría del infinito, establece, sin pararse en contemplaciones, diferentes órdenes de infinitos, y debe estar muy seguro de lo que imagina para haberse atrevido a tanto.

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(1) Evangelio, cap.II.